Questão do ENEM - 2023, com abordagem de Geometria Plana e Trigonometria no Triângulo Retângulo.
O mastro de uma bandeira foi instalado perpendicularmente ao solo em uma região plana. Devido aos fortes ventos, três cabos de aço, de mesmo comprimento, serão instalados para dar sustentação ao mastro. Cada cabo de aço ficará perfeitamente esticado, com uma extremidade num ponto P do mastro, a uma altura h do solo, e a outra extremidade, num ponto no chão, como mostra a figura.
Os cabos de aço formam um ângulo $\alpha$ com o plano do chão.
Por medida de segurança, há apenas três opções de instalação:
• opção I: $h=11m$ e $\alpha=30^\circ$
• opção II: $h=12m$ e $\alpha = 45^\circ$
• opção III: $h=18m$ e $\alpha = 60^\circ$
A opção a ser escolhida é aquela em que a medida dos cabos seja a menor possível.
Qual será a medida, em metro, de cada um dos cabos a serem instalados?
a) $\dfrac{22\sqrt{3}}{3}$
b) $11\sqrt{2}$
c) $12\sqrt{2}$
d) $12\sqrt{3}$
e) $22$
Solução:
Como a medida dos cabos deve ser a menor possível, temos que $\alpha=45^\circ$, pois se um dos ângulos do triângulo retângulo, formado pelos cabos com o mastro, for de $30^\circ$, necessariamente o outro ângulo será de $60^\circ$, o que não fará os cabos terem a menor medida possível. Portanto, os triângulos são isósceles e usaremos a opção II.
Sendo a medida do cabo igual a $x$, temos:
$sen\,45^\circ=\dfrac{12}{x}$ $\Rightarrow$ $\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{12}{x}$ $\Rightarrow$ $x\sqrt{2}=24$ $\Rightarrow$ $x=\dfrac{24}{\sqrt{2}}$ $\Rightarrow$ $x=\dfrac{24\sqrt{2}}{2}$ $\Rightarrow$ $x=12\sqrt{2}$
Logo, os cabos têm medidas iguais a $12\sqrt{2}\,m$.