Abaixo, trago uma questão sobre EQUAÇÃO IRRACIONAL bastante interessante do ponto de vista do uso de algumas propriedades de potenciação e radiciação. Acompanhe a sua resolução.
$\sqrt{6}^{ \sqrt{18- \sqrt{10-x} } }=36$
$\left(6^{ \frac{1}{2} }\right)^{ \sqrt{18- \sqrt{10-x} } }=6^{2}$
$6^{ \frac{ \sqrt{18- \sqrt{10-x} } }{2} }=6^{2}$
$\dfrac{\sqrt{18-\sqrt{10-x}}}{2}=2$
$\sqrt{18-\sqrt{10-x}}=4$
$\left(\sqrt{18-\sqrt{10-x}}\right)^{2}=4^{2}$
$18-\sqrt{10-x}=16$
$-\sqrt{10-x}=16-18$
$-\sqrt{10-x}=-2$
$\sqrt{10-x}=2$
$\left(\sqrt{10-x}\right)^{2}=2^{2}$
$10-x=4$
$-x=4-10$
$-x=-6$
$x=6$
Verificando:
Como de praxe, é sempre necessário que toda equação irracional tenha uma verificação de raiz (es). Assim sendo, precisamos checar se, ao substituir x por 6, a igualdade é mantida (ou não).
$\sqrt{6}^{ \sqrt{18- \sqrt{10-x} } }=36$
$\sqrt{6}^{ \sqrt{18- \sqrt{10-6} } }=36$
$\sqrt{6}^{ \sqrt{18- \sqrt{4} } }=36$
$\sqrt{6}^{ \sqrt{18-2 } }=36$
$\sqrt{6}^{ \sqrt{16} }=36$
$\sqrt{6}^{4}=36$
${6}^{\frac{4}{2}}=36$
${6}^{2}=36$
$36=36$ ✅
Como a igualdade foi preservada, logo temos que, de fato, a raiz da equação dada é 6. Portanto:
$S=\{6\}$